גאומטריה אנליטית

קואורדינטות קרטזיות

במתמטיקה, גֵּאוֹמֶטְרִיָּה אָנָלִיטִית או הַנְדָּסָה שִׁעוּרִית היא ענף העוסק בחקר הגאומטריה באמצעות כלים אלגבריים. בענף זה משתמשים לרוב במערכת צירים קרטזית כדי לתאר באמצעות משוואות מרחבים, ישרים, עקומות, מעגלים וכדומה, בדו-ממד ובתלת-ממד.

את היסודות לגאומטריה האנליטית הניח רנה דקארט, שעל שמו נקראת מערכת צירים קרטזית והמכפלה הקרטזית, בשנת 1637. עבודתו סיפקה את הבסיס לחשבון האינפיניטסימלי שפותח בנפרד על ידי אייזק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ. יש הרואים בפיתוח הגאומטריה האנליטית את תחילתה של המתמטיקה המודרנית.

גאומטריה אנליטית במישור

בגאומטריה האנליטית של המישור (הבנויה על מערכת צירים קרטזית) מיוצגת כל נקודה על ידי זוג סדור של מספרים ממשיים, כאשר בערכם המוחלט, הראשון מציין את המרחק (האופקי/הקטן ביותר) של הנקודה מציר ה-$y$ והשני את המרחק (האנכי/הקטן ביותר) של הנקודה מציר ה-$x$.
החוזק של הגאומטריה האנליטית ביחס לגאומטריה האוקלידית, הוא באפשרות לתאר מושגים גאומטריים על ידי משוואות ופונקציות, ובכך לאפשר פתרון אלגברי לבעיה הגאומטרית.

הזוג הסדור של נקודה נקרא גם "שיעורי" הנקודה. הראשון נקרא שיעור ה-$x$ של הנקודה והשני שיעור ה-$y$ של הנקודה.

מרחק בין נקודות

בבסיס התחום נמצאת הגדרת המרחק בין שתי נקודות, שמוגדרת לפי משפט פיתגורס:

$\ d((x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1}))={\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}}$

קווים ישרים

קו ישר מוגדר כאוסף הנקודות שמקיימות משוואה מהצורה:

$Ax+By=C$.

כאשר $A=B=0$ המשוואה מגדירה את כל המישור או אף נקודה, ולא קו ישר במובן הרגיל של המילה.

כאשר $B\neq 0$ ניתן להציג את הקו הישר על ידי משוואה מהצורה $y=mx+n$. משוואה זו נקראת המשוואה הקנונית של הישר (או המשוואה המפורשת של הישר).

המשוואה הקנונית (המפורשת) של הישר היא יחידה – כלומר, אם נתונות שתי משוואות שונות, הן בהכרח מייצגות שני ישרים שונים, ולהפך. לעומת זאת, לכל ישר קיימות אינסוף משוואות רגילות המתארות אותו, כיוון שניתן להכפיל את המשוואה של ישר נתון בכל מספר ממשי שאינו אפס והמשוואה תוסיף ותתאר את אותו הישר.

המספר $m$ שבמשוואה נקרא שיפוע הישר, והוא מייצג את מספר היחידות שהישר עובר בציר ה־$y$ עבור כל יחידת אורך שהוא עובר בציר ה־$x$. ישרים בעלי שיפוע זהה הם ישרים מקבילים, ולהפך. שיפוע הישר המקביל לציר ה־$x$ הוא $0$, ושיפוע הישר המקביל לציר ה־$y$ אינו מוגדר ואי אפשר לייצג אותו באמצעות משוואה זו.

המספר $n$ שבמשוואה הוא ערך ה-$y$ בנקודת חיתוך הישר עם ציר ה־$y$.

בהינתן שתי נקודות על ישר: $(x_{2},y_{2}),(x_{1},y_{1})$ ,אזי השיפוע($m$) הוא הפרש שיעורי ה־$y$ של שתי הנקודות חלקי הפרש שיעורי ה־$x$ של שתי הנקודות $m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ .

הזווית שישר יוצר עם ציר ה-$x$ (כמו גם עם כל ישר אחר המקביל לציר ה-x) היא $\theta =\arctan(m)$.

מרחק בין ישרים מקבילים

בהינתן שני ישרים מקבילים $\ell _{i}:Ax+By+C_{i}=0$, $i=1,2$, המרחק ביניהם הוא

$d={\frac {|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

אם נדאג לכך ש-$B>0$, אם $\ell _{2}$ מעל $\ell _{1}$ נוכל להשמיט את הערך המוחלט, ואם אם $\ell _{2}$ מתחת ל-$\ell _{1}$ נוכל לשים במקומו מינוס.

מרחק בין נקודה לישר

בהינתן ישר $\ell :Ax+By+C=0$ ונקודה $(x_{0},y_{0})$ המרחק ביניהם הוא

$d={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$.

ישרים מאונכים

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא מינוס 1.

הוכחה:

עבור ישר עם זווית $\theta$ ביחס לציר $x$, השיפוע שלו הוא $m=\tan(\theta )$,

כך שהישר המאונך לו הוא עם זווית $\theta +90^{\circ }$ ביחס לציר ה $x$ ,

כלומר שיפוע הישר המאונך הוא $m_{\perp }=\tan(\theta +90^{\circ })$,

ומאחר ו $\tan(\theta +90^{\circ })=-1/\tan(\theta )$ ,

אזי מתקבל $m_{\perp }=-1/m$

מעגלים

המעגל לפי הגדרתו הגאומטרית, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מנקודה מסוימת שווה למספר חיובי קבוע - רדיוס המעגל. הנקודה המסוימת נקראת מרכז המעגל. משוואתו של מעגל מוגדרת כך:

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$ כאשר מרכז המעגל הוא הנקודה $(a,b)$ ורדיוסו $R$.

כאשר מרכז המעגל נמצא בראשית הצירים - הנקודה $(0,0)$, משוואת המעגל מקבלת את הצורה:

$x^{2}+y^{2}=R^{2}$

מעגל כזה נקרא מעגל קנוני, וקל לראות שניתן ליצור ממנו כל מעגל על ידי הזזה. כאשר רדיוס המעגל הקנוני הוא $1$, המעגל נקרא מעגל היחידה. דרך נוחה להצגה פרמטרית של מעגל היחידה היא על ידי הנוסחה

$(\cos t,\sin t)$ עבור $t\in [0,2\pi ]$.

קיימות נוסחאות דומות גם לחתכי חרוט אחרים (פרבולה, היפרבולה ואליפסה).

הכללה למרחב ה-n ממדי

במרחב n-ממדי, מיוצגת כל נקודה על ידי וקטור $n$-ממדי מעל המספרים הממשיים. מישור עילי במרחב $n$-ממדי מוגדר על ידי כל הנקודות המיוצגות על ידי קומבינציות ליניאריות של $n-1$ וקטורים בלתי תלויים, המייצגים נקודות באותו מרחב. קו ישר מיוצג על ידי קבוצת כל הקומבינציות הליניאריות של שתי נקודות שונות ומישור (במרחב תלת-ממדי) על ידי כל הקומבינציות הליניאריות של שלוש נקודות שאינן על ישר אחד.

משמעות מודרנית

במשמעותה המודרנית גאומטריה אנליטית עוסקת בחקר של קבוצות אפסים של פונקציות אנליטיות. ישנם קשרים רבים בין גאומטריה אנליטית מודרנית לגאומטריה אלגברית מודרנית, למשל במשפטי ה-GAGA של ז'אן-פייר סר.

לקריאה נוספת

• ברוך בן-יהודה, גאומטריה אנליטית של המישור, הוצאת מסדה, מהדורה חמישית, 1965.
• שמשון עמיצור, גאומטריה אנליטית, אקדמון, תשכ"ט
• רחל בוהדנה, נורית הדס, שרה קירו, גאומטריה אנליטית, המחלקה להוראת המדעים - מכון ויצמן למדע, 1997.

קישורים חיצוניים

• גאומטריה אנליטית, באתר MathWorld (באנגלית)
• גאומטריה אנליטית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• גאומטריה אנליטית, דף שער בספרייה הלאומית